Introdução

O Teorema do Valor Médio (TVM) é um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial.

Ele formaliza a ideia de que, em uma curva contínua e diferenciável, existe pelo menos um ponto onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta que liga os extremos do intervalo.

Este teorema tem aplicações profundas em análise, física, economia e outras áreas que dependem de mudanças em taxas.

Enunciado do Teorema

Seja f(x) uma função que satisfaz as seguintes condições em um intervalo [a, b]:

    • f(x) é contínua em [a, b].

    • f(x) é diferenciável no intervalo (a, b).

Então, existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal que:

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

Interpretação Geométrica

O teorema afirma que existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) onde a inclinação da reta tangente à curva é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).