O Jacobiano é uma ferramenta fundamental no estudo das transformações entre espaços reais.

Ele fornece informações sobre como pequenas mudanças nas variáveis de entrada afetam as variáveis de saída de uma transformação.

Definição

Dada uma transformação T: ℝⁿ → ℝ^m, o Jacobiano J é uma matriz m x n das derivadas parciais das funções que compõem a transformação.

Seja T(x) = f₁(x) + f₂(x) + ... + f_m(x), onde x = (x₁, x₂, ... , x_n), então o Jacobiano é dado por:

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} $$

Propriedades

Determinante: O determinante do Jacobiano, denotado por |J| ou det(J), fornece informações sobre a dilatação (ou contração) volumétrica da transformação.

    • Se |J| > 0, então a transformação preserva a orientação e a magnitude do volume é aumentada.

    • Se |J| < 0, a orientação é invertida e o volume é diminuído. Se |J| = 0, a transformação é singular e não é invertível.