As integrais curvilíneas são uma generalização das integrais definidas, aplicadas a funções ao longo de uma curva em um espaço bidimensional ou tridimensional.

Definição

Uma integral curvilínea pode ser definida para funções escalares ou vetoriais.

Consideremos uma curva C parametrizada por 𝑟(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), onde t varia de a a b. A integral curvilínea de uma função escalar f(x, y, z) ao longo de C é dada por:

$$ \int_C f(x, y, z) \, ds $$

Aqui, ds representa o elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva, definido como:

$$ ds = |\mathbf{r}'(t)| \, dt $$

$$ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt $$

Portanto, a integral curvilínea de f ao longo de C é:

$$ \int_C f(x, y, z) \, ds = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t)) \, |\mathbf{r}'(t)| \, dt $$

Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais

Para um campo vetorial F = (P, Q, R), a integral curvilínea ao longo de uma curva C parametrizada por 𝑟(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) é dada por:

$$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $$