Aqui, F ⋅ dr é o produto escalar do campo vetorial F com o vetor tangente à curva dr, onde dr = r'(t)dt = (dx, dy, dz). Portanto, a integral curvilínea de F ao longo de C é:

$$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt $$

$$\int_{a}^{b} \left( P(x(t), y(t), z(t)) \frac{dx}{dt} \right) dt$$

$$+ \int_{a}^{b} \left( Q(x(t), y(t), z(t)) \frac{dy}{dt} \right) dt$$

$$+ \int_{a}^{b} \left( R(x(t), y(t), z(t)) \frac{dz}{dt} \right) dt$$

Exemplos

Integral Curvilínea de uma Função Escalar

Calcular a integral curvilínea da função f(x, y) = x + y ao longo da curva C definida pela parábola y = x² de x = 0 a x = 1.

A curva C pode ser parametrizada por r(t) = (t, t²), onde t varia de 0 a 1. O elemento de comprimento ao longo da curva é:

    ds = √[(^dx/_dt)² + (^dy/_dt)²] dt = √(1 + 4t²) dt