De 2ª Espécie

As integrais de superfície de segunda espécie são usadas para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Definição

Seja S uma superfície parametrizada por r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), onde (u, v) varia em uma região D do plano uv.

A integral de superfície de segunda espécie de um campo vetorial F = (P, Q, R) através de S é dada por:

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

Aqui, dS é o vetor área infinitesimal da superfície, definido como:

$$dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv$$

Portanto, a integral de superfície de F sobre S é:

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

$$ = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, du \, dv$$

Exemplo

Calcule a integral de superfície do campo vetorial F = (x, y, z) através da parte do plano z = 4 - x - y no primeiro octante.

Usando a parametrização anterior r(x, y) = (x, y, 4 - x - y), temos:

    dS = (1, 1, 1) dxdy