Aqui, dS representa o elemento de área infinitesimal da superfície, definido como:

$$dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv$$

Onde r_u e r_v são os vetores tangentes à superfície nas direções u e v, respectivamente, e (r_u × r_v) é o produto vetorial desses vetores.

Portanto, a integral de superfície de f sobre S é:

$$\iint_S f(x, y, z) \, dS$$

$$ = \iint_D f(\mathbf{r}(u, v)) \, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv$$

Exemplo

Calcular a integral de superfície da função f(x, y, z) = z sobre a parte do plano z = 4 - x - y no primeiro octante.

Parametrizamos a superfície como r(x, y) = (x, y, 4 - x - y), onde x e y variam na região D definida por 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥.

Os vetores tangentes são esses abaixo:

    r_x = (1, 0, -1)

    r_y = (0, 1, -1)

O produto vetorial (r_x × r_y) é (1, 1, 1) e o módulo do produto vetorial √3.

Portanto, a integral de superfície é a seguinte:

$$\iint_S z \, dS$$

$$ = \sqrt{3} \int_{0}^{4} \int_{0}^{4-x} (4 - x - y) \, dy \, dx$$