Exemplos

Exemplo 1: Função Linear

Considere a função linear f(x) = 3x + 2. Vamos encontrar a derivada em qualquer ponto a.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Substituindo f(x):

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(3f(a+h)+2) - (3a+2)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{(3a + 3h + 2 - 3a - 2)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} (3) = 3$$

A derivada de f(x) = 3x + 2 é f'(x) = 3, o que faz sentido, pois a inclinação de uma reta linear é constante.

Exemplo 2: Função Quadrática

Considere a função quadrática f(x) = x². Vamos encontrar a derivada em qualquer ponto a.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 - a^2}{h}$$

Expandindo e simplificando:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$$