Máximos e Mínimos

A análise de máximos e mínimos locais é uma das aplicações mais comuns das derivadas.

Esses pontos são encontrados quando f′(x) = 0 e a derivada muda de sinal.

I) Teste da 1ª Derivada:

    • Se f′(x) muda de positivo para negativo em x = c, f(c) é um máximo local.

    • Se f′(x) muda de negativo para positivo em x = c, f(c) é um mínimo local.

II) Teste da 2ª Derivada: derivar duas vezes

    • Se f′′(c) > 0, f(c) é um mínimo local.

    • Se f′′(c) < 0, f(c) é um máximo local.

Otimização

As derivadas são amplamente usadas para resolver problemas de otimização em várias áreas, como economia, física e engenharia.

Esses problemas envolvem encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função em um intervalo.

Exemplo: Um agricultor quer cercar um terreno retangular usando 100 metros de cerca. Qual deve ser o comprimento e a largura para maximizar a área?

    Escreva a função da área: A = x ⋅ y. Substitua a restrição: 2x + 2y = 100 ⟹ y = 50 − x.

    A função de uma variável: A(x) = x(50 − x). Derive e resolva: A′(x) = 50 − 2x = 0 ⟹ x = 25. Logo, a solução é x = 25 e y = 25.