Exemplo: Calcular a integral tripla ∭_𝐷 x dV, onde D é o cubo definido por 0 ≤ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 1:

$$ \iiint_{D} x \, dV = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x \, dz \, dy \, dx = \frac{1}{2} $$

Em Coordenadas Cilíndricas

Em algumas situações, é mais conveniente usar coordenadas cilíndricas, especialmente quando a região de integração possui simetria cilíndrica.

As coordenadas cilíndricas são dadas pelo seguinte:

$$ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta), \quad z = z $$

O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r drdθdz.

Exemplo: Calcular ∭_𝐷 z dV onde 𝐷 é o cilindro 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1:

$$ \iiint_{D} z \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} z r \, dz \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2} $$

Em Coordenadas Esféricas

Para regiões que possuem simetria esférica, as coordenadas esféricas são mais apropriadas. Elas são definidas por:

$$ x = \rho \sin(\phi) \cos\theta $$

$$ y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta) $$

$$ z = \rho \cos(\phi) $$

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = ρ²sen(ϕ) dρdϕdθ.