Mudança de Coordenadas para Coordenadas Esféricas

Para coordenadas esféricas, a transformação de (x, y, z) para (ρ, θ, ϕ) é:

    x = ρ.sen(ϕ)cos(θ)

    y = ρ.sen(ϕ)sen(θ)

    z = ρ.cos(ϕ)

O Jacobiano dessa transformação é dado por:

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{bmatrix} $$

=

$$ \begin{bmatrix} \sin\phi \cos\theta & -\rho \sin\phi \sin\theta & \rho \cos\phi \cos\theta \\ \sin\phi \sin\theta & \rho \sin\phi \cos\theta & \rho \cos\phi \sin\theta \\ \cos\phi & 0 & -\rho \sin\phi \end{bmatrix} $$

E o determinante do Jacobiano aqui é |J| = ρ²sen(ϕ).

Portanto, a integral tripla em coordenadas esféricas é:

    ∭_V f(x, y, z) dxdydz

   = ∭_V f(ρ.senϕcosθ, ρ.senϕsenθ, ρ.cosϕ) ρ²senϕ dρdθdϕ