Definição

O rotacional é uma operação que mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto.

Para um campo vetorial F = (F1, F2, F3) em ℝ³, o rotacional de F, denotado por ∇×F, é um novo campo vetorial definido como:

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \quad \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) $$

Usando a notação do determinante, podemos expressar o rotacional como:

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} $$

Aqui, i, j, e k são os vetores unitários nas direções x, y, e z, respectivamente.

Interpretação Física

O rotacional tem uma interpretação física clara relacionada à ideia de rotação ou circulação de um campo vetorial.

A seguir estão algumas interpretações físicas e aplicações práticas do rotacional.

Circulação e Vorticidade

O rotacional de um campo vetorial em um ponto mede a circulação infinitesimal do campo em torno desse ponto.

• Se (∇ × F) ≠ 0, há uma tendência de rotação ou vorticidade no campo naquele ponto.

• Se (∇ × F) = 0, o campo é irrotacional naquele ponto.