Introdução

O Teorema de Gauss, ou Teorema da Divergência, é uma das peças centrais do cálculo vetorial em três dimensões.

Este teorema estabelece uma relação fundamental entre a integral de superfície de um campo vetorial através de uma superfície fechada e a integral de volume da divergência desse campo sobre a região delimitada pela superfície.

Definição Formal

O Teorema de Gauss afirma que, se V é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada S orientada positivamente (com a normal saindo para fora), então a integral do fluxo de um campo vetorial F = (F₁, F₂, F₃) através de S está relacionada à integral do divergente de F sobre o volume V.

Se as componentes do campo vetorial F possuem derivadas parciais contínuas em uma região que contém V e sua superfície S, o teorema estabelece que a integral de superfície de F sobre S é igual à integral de volume do divergente de F sobre V, ou seja:

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$$

Onde (∇ ⋅ F) é a divergência de F, sendo dada por:

    (∇ ⋅ F) = (^∂F₁/_∂x + ^∂F₂/_∂y + ^∂F₃/_∂z)

Explicação Detalhada

Superfícies e Volumes: O teorema aplica-se a uma região V no espaço tridimensional que é delimitada por uma superfície fechada S.

A orientação positiva da superfície é tal que os vetores normais apontam para fora da região V.