Introdução

O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para superfícies tridimensionais.

Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada à integral de superfície da rotação desse campo através da superfície delimitada pela curva.

Este teorema é fundamental na teoria do cálculo vetorial e tem aplicações importantes na física, engenharia e matemática pura.

Definição Formal

O Teorema de Stokes afirma que, se S é uma superfície suave orientada positivamente com uma fronteira fechada C orientada positivamente (segundo a regra da mão direita), e se F é um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém S, então:

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$$

• ∮_C F ⋅ dr é a integral de linha de F ao longo de C.

• ∇ × F é o rotacional de F.

• n é o vetor normal unitário à superfície S.

Explicação Detalhada

Curvas, Superfícies e Orientação: Antes de aplicar o Teorema de Stokes, é importante entender a orientação das curvas e superfícies.

A orientação positiva da curva C é definida de tal forma que, ao percorrer C no sentido positivo, a superfície S fica sempre à esquerda, de acordo com a regra da mão direita.