Campos Vetoriais e Rotacional: O campo vetorial F = (F1, F2, F3) deve ser suficientemente suave, com derivadas parciais contínuas. O rotacional de F, dado por:

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \quad \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) $$

É uma medida da rotação local do campo vetorial.

Demonstração do Teorema de Stokes

A demonstração do Teorema de Stokes pode ser intuitivamente entendida dividindo a superfície S em pequenos elementos de superfície, aplicando o teorema de Green a cada elemento e somando as contribuições resultantes.

Exemplos

1. Integral de Linha sobre um Hemisfério: Calcular ∮_C F ⋅ dr para 𝐹 = (𝑦, −𝑥, 𝑧) onde C é a fronteira do hemisfério superior da esfera x² + y² + z² = 1.

Primeiro, calculamos o rotacional de F:

    ∇ × F = (^∂z/_∂y−^∂(-x)/_∂z, ^∂y/_∂z−^∂z/_∂x, ^∂(-x)/_∂x−^∂y/_∂y) = (0, 0, -2)

A integral de superfície é:

    ∬_S (∇ × F) ⋅ n dS = ∬_S (0,0,−2) ⋅ (0,0,1) dS = − 2∬_S dS