Como a área do hemisfério superior é 2π, temos:

    ∮_C F ⋅ dr = −4π

2. Circulação em um Campo Vetorial: Determine a circulação do campo vetorial F = (y, z, x) ao longo da fronteira do triângulo no plano z = 0 com vértices em (0,0,0), (1,0,0) e (0,1,0).

Primeiro, calculamos o rotacional de F:

    ∇ × F = (^∂x/_∂y−^∂z/_∂z, ^∂y/_∂z−^∂x/_∂x, ^∂z/_∂x−^∂y/_∂y) = (0, 0, 1)

A integral de superfície é:

    ∬_S (∇ × F) ⋅ n dS = ∬_S (0,0,1) ⋅ (0,0,1) dS = ∬_S dS

Como a área do triângulo é ¹/₂, temos o seguinte:

    ∮_C F ⋅ dr = ¹/₂

Questões

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