Campos Vetoriais: O campo vetorial F representa uma quantidade que tem tanto magnitude quanto direção em cada ponto da região.

Para aplicar o Teorema de Gauss, os componentes F₁, F₂ e F₃ de F devem ser suficientemente suaves, ou seja, devem possuir derivadas parciais contínuas.

Demonstração do Teorema de Gauss: A demonstração do Teorema de Gauss pode ser compreendida considerando a integral de superfície dividida em pequenos elementos de superfície, e usando a definição da divergência para transformar essas integrais de superfície em integrais de volume.

Exemplos

1. Fluxo Através de uma Esfera: Calcular o fluxo do campo vetorial F = (x, y, z) através da superfície da esfera x² + y² + z² = a².

Aplicando o Teorema de Gauss, primeiro calculamos a divergência de F:

    (∇ ⋅ F) = (^∂x/_∂x + ^∂y/_∂y + ^∂z/_∂z)

    = 1 + 1 + 1 = 3

Agora, abaixo vamos ver a integral de volume:

    ∭_V (∇ ⋅ F) dV = 3∭_V dV = 4πa³

Portanto, o fluxo através da superfície da esfera é 4πa³.