Rotacional Nulo: Um campo conservativo tem rotacional nulo, ou seja:

$$\nabla \times \mathbf{F} = 0$$

Isso implica que não há vorticidade no campo, uma vez que ele é derivado de um potencial escalar.

Exemplo de Campo Conservativo

Considere o campo vetorial F = (2xy, x² + 2y). Vamos verificar se este campo é conservativo encontrando seu potencial escalar ϕ.

Para que F = ∇ϕ, precisamos que o seguinte aconteça:

    ^∂ϕ/_∂x = 2xy

    ^∂ϕ/_∂y = x² + 2y

Integrando ^∂ϕ/_∂x = 2xy em relação a x, obtemos:

    ϕ(x, y) = x²y + g(y)

Onde g(y) é uma função de y que surge como uma constante de integração. Para determinar g(y), usamos ^∂ϕ/_∂y = x² + 2y:

^{∂(x²y + g(y))} / _∂y = x² + g′(y) = x² + 2y

Portanto, g'(y) = 2y, e integrando em relação a y, temos g(y) = y². Assim, o potencial escalar é:

    ϕ(x, y) = x²y + y²

E, de fato observamos que o seguinte acontece:

    F = ∇ϕ = (^∂ϕ/_∂x, ^∂ϕ/_∂y) = (2xy, x² + 2y)