Identificar se um campo vetorial é conservativo é essencial em várias áreas da matemática e da física.

Existem critérios específicos e testes práticos que podem ser aplicados para determinar se um campo vetorial é conservativo.

Critérios em ℝ²

Para um campo vetorial F = (P(x,y), Q(x,y)) em ℝ², o campo é conservativo se existir uma função escalar ϕ(x, y) tal que F = ∇ϕ.

Os seguintes critérios podem ser utilizados. Veja:

Rotacional Nulo: O campo vetorial F é conservativo se, e somente se, o rotacional de F é nulo:

    ^∂Q/_∂x - ^∂P/_∂y = 0

Se essa condição for satisfeita em uma região simplesmente conexa (uma região sem buracos ou lacunas), então F é conservativo.

Independência do Caminho: A integral de linha de F entre dois pontos A e B deve ser independente do caminho tomado entre esses pontos. Matematicamente:

$$\int_{\gamma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\gamma_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

Essa propriedade resulta da existência de um potencial escalar ϕ para o campo F.