Critérios em ℝ³

Para um campo vetorial F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) em ℝ³, o campo é conservativo se existir uma função escalar ϕ(x, y, z) tal que F = ∇ϕ. Os seguintes critérios são aplicáveis:

Rotacional Nulo: O campo vetorial F é conservativo se, e somente se, o rotacional de F é nulo em uma região simplesmente conexa:

$$\nabla \times \mathbf{F} = 0$$

Isso significa, então, que o seguinte acontece:

    ^∂P/_∂z - ^∂R/_∂x = 0
    ^∂Q/_∂x - ^∂P/_∂y = 0
    ^∂R/_∂y - ^∂Q/_∂z = 0

Existência de um Potencial Escalar: Se existe uma função escalar ϕ tal que F = ∇ϕ, então F é conservativo. Para encontrar ϕ, integramos os componentes de F e verificamos a consistência das integrais parciais.

Independência do Caminho: A integral de linha de F entre dois pontos A e B deve ser independente do caminho tomado:

$$\int_{\gamma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\gamma_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

Novamente, isso é consequência direta da existência de um potencial escalar ϕ.