Onde Y(x) é a matriz fundamental das soluções do sistema homogêneo e U(x) é um vetor de funções a serem determinadas.

Condição Adicional

Para determinar U(x), impomos a condição adicional: $$ U'(x) Y(x) = 0 $$

Esta condição simplifica a derivada da solução particular.

Substituição na Equação Original

Substituímos y_p e sua derivada na equação original: $$ y_p' = U'(x) Y(x) + U(x) Y'(x) $$

Como Y(x) satisfaz o sistema homogêneo, temos Y'(x) = A(x)Y(x). Assim: $$ y_p' = U'(x) Y(x) + U(x) A(x) Y(x) $$

Substituímos na equação original: $$ U'(x) Y(x) + U(x) A(x) Y(x) = A(x) U(x) Y(x) + g(x) $$ Simplificando, obtemos: $$ U'(x) Y(x) = g(x) $$

Resolução do Sistema

Temos agora um sistema para U'(x): $$ U'(x) Y(x) = g(x) $$ Para resolver esse sistema, multiplicamos ambos os lados pela inversa da matriz fundamental Y(x): $$ U'(x) = g(x) Y^{-1}(x) $$