A definição é a seguinte: seja f uma função definida em um intervalo aberto que contém c, exceto possivelmente em c próprio. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e escrevemos:

$$\lim _{x\to \:c}\:f\left(x\right)\:=\:L$$

Se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x - c| < δ, então |f(x) - L| < ε.

Interpretação da Definição

A definição formal pode ser complicada à primeira vista, mas vamos decompô-la:

I) Para todo ε > 0: ε representa uma distância arbitrariamente pequena da imagem L.

II) Existe um δ > 0: δ é uma distância na variável x que garante que f(x) fique dentro de ε de L.

III) Se 0 < |x - c| < δ: Estamos considerando todos os x próximos a c, mas diferentes de c próprio.

IV) Então |f(x) - L| < ε: Os valores de f(x) estarão dentro de ε de L.

Exemplo com Definição Formal

Vamos aplicar a definição formal a um exemplo simples. Consideremos a função f(x) = 3x + 2 e queremos encontrar o limite quando x tende a 1.

$$\lim _{x\to \:1}\left(3x+2\right)=\:5$$

Dado ε > 0, precisamos encontrar um δ > 0 tal que, se 0 < |x - 1| < δ, então |(3x + 2) - 5| < ε.