Para uma função f(x, y), um ponto crítico é um ponto (a, b) no domínio de f onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são ambas iguais a zero, ou seja:

    ^∂f/_∂x (a, b) = 0

    ^∂f/_∂y (a, b) = 0

Além disso, pontos críticos também podem ocorrer onde as derivadas parciais não existem, mas isso será tratado em maior detalhe posteriormente.

Pontos críticos são importantes porque eles são candidatos potenciais para serem máximos ou mínimos locais da função.

Tipos de Extremos

Máximos e Mínimos Locais: Um ponto (a, b) é um máximo local de f(x, y) se existe uma vizinhança ao redor de (a, b) tal que para todo ponto (x, y) nessa vizinhança, temos:

$$ f(x, y) \leq f(a, b) $$

De forma análoga, um ponto (a, b) é um mínimo local de f(x, y) se existe uma vizinhança ao redor de (a, b) tal que para todo ponto (x, y) nessa vizinhança, temos:

$$ f(x, y) \geq f(a, b) $$

Em outras palavras, em um máximo local, o valor da função é maior ou igual ao valor da função em pontos próximos, e em um mínimo local, o valor da função é menor ou igual ao valor da função em pontos próximos.