Para identificar os extremos de funções de várias variáveis, é fundamental entender as condições que devem ser satisfeitas nesses pontos.

Teorema de Fermat

O Teorema de Fermat é uma condição necessária para que um ponto seja um extremo local de uma função de várias variáveis.

Em sua forma mais simples, o teorema afirma que se uma função f tem um máximo ou mínimo local em um ponto (a, b) e se as derivadas parciais de f existem nesse ponto, então essas derivadas devem ser zero.

Formalmente, se f tem um máximo ou mínimo local em (a, b) e as derivadas parciais ^∂f/_∂x e ^∂f/_∂y existem em (a, b), então:

    ^∂f/_∂x (a, b) = 0

    ^∂f/_∂y (a, b) = 0

Isso significa que os pontos críticos, onde as derivadas parciais são zero, são candidatos a serem extremos locais.

Derivadas Parciais e o Gradiente

Para entender o conceito de ponto crítico, precisamos revisitar as derivadas parciais e introduzir o conceito de gradiente.

Derivadas Parciais: Para uma função de duas variáveis f(x, y), as derivadas parciais são definidas como:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} $$