Introdução

O conceito de limites é fundamental no estudo das funções de várias variáveis, assim como é em funções de uma variável.

Definição Formal de Limite

Seja f: ℝⁿ → ℝ uma função de n variáveis. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L, e escrevemos:

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

Se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε.

Interpretação Geométrica

Geometricamente, podemos entender a definição de limite como a aproximação dos valores de f(x) para valores arbitrariamente próximos de a.

Em outras palavras, ao nos aproximarmos de a a partir de qualquer direção no domínio de f, os valores de f(x) devem se aproximar de L.

Exemplos

1. Limite Simples: Considere a função f(x, y) = x² + y². Vamos determinar lim_{(x,y)→(1,1)} f(x, y). Calculando diretamente:

$$ \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 1^2 = 2 $$