A diferenciabilidade é um conceito central em cálculo, que estende a ideia de derivadas de funções de uma variável para funções de várias variáveis.

Definição Formal de Diferenciabilidade

Seja f: ℝⁿ → ℝ uma função de n variáveis. Dizemos que f é diferenciável em um ponto a ∈ ℝⁿ se existe um vetor L ∈ ℝⁿ tal que:

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a) - L \cdot h}{|h|} = 0 $$

O vetor L é chamado de vetor gradiente de f em a e é denotado por ∇ f(a).

Relação entre Diferenciabilidade e Derivadas Parciais

Se f é diferenciável em a, então todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em a.

No entanto, a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade da função.

Gradiente

O gradiente de f em a é o vetor mostrado abaixo:

$$ \nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right) $$

Exemplo

Considere a função f(x, y) = x² + y². Vamos determinar se f é diferenciável em a = (1, 1).