As derivadas parciais de f são, nesse caso, as seguintes:

∂f/∂x (x, y) = 2x

∂f/∂y (x, y) = 2y

∴ ∇ f(1, 1) = (2.1, 2.1) = (2, 2)

Para verificar a diferenciabilidade, consideramos:

f(a+h) = f(1+h₁, 1+h₂) = (1+h₁)² + (1+h₂)²

∴ f(a+h) - f(a) - ∇ f(a).h = 2h₁ + h₁² + 2h₂ + h₂² - (2h₁ + 2h₂) = h₁² + h₂²

Dividindo por |h| e tomando o limite conforme h → 0, obtemos:

$$ \lim_{h \to 0} \frac{h_1^2 + h_2^2}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \sqrt{h_1^2 + h_2^2} = 0 $$

Portanto, agora sabemos que f é diferenciável em (1, 1).

Critério de Diferenciabilidade

Uma função f: ℝ_n → ℝ é diferenciável em a se todas as derivadas parciais existem em a e são contínuas em uma vizinhança de a.