A regra da cadeia é um dos teoremas mais importantes no cálculo diferencial, permitindo a diferenciação de funções compostas.

Para funções de várias variáveis, a regra da cadeia se torna ainda mais poderosa e essencial.

Para Funções de Várias Variáveis

Considere u = f(x, y) e x = g(t), y = h(t). Para encontrar a derivada de u em relação a t, usamos a regra da cadeia:

$$ \frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

Regra da Cadeia Simples

Seja u = f(x, y) = x² + y², onde x = t² e y = sen(t).

I) Primeiro, encontramos as derivadas parciais de f:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \quad e \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y $$

II) Depois, encontramos as derivadas de x e y em relação a t:

$$ \frac{dx}{dt} = 2t \quad e \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t) $$

III) Aplicando a regra da cadeia, temos o seguinte:

$$ \frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

$$ = 2x \cdot 2t + 2y \cos(t) $$

IV) Substituindo x = t² e y = sen(t) obtemos:

$$ \frac{du}{dt} = (2t^2 \cdot 2t) + (2\sin(t) \cdot \cos(t)) $$

$$ = \frac{du}{dt} = 4t^3 + 2\sin(t)\cos(t) $$