Para Funções Implícitas

A regra da cadeia também pode ser aplicada a funções implícitas.

Suponha que F(x, y, z) = 0, onde z = f(x, y). Para encontrar ^∂z/_∂x e ^∂z/_∂y, usamos:

$$ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$

$$ \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$

Agora resolvendo para ^∂z/_∂x e ^∂z/_∂y temos o seguinte:

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\right) $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = -\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\right) $$

Função Implícita

Considere F(x, y, z) = x² + y² + z² - 1 = 0, onde z = f(x, y).

I) Primeiro, encontramos as derivadas parciais de F:

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = 2x \quad e \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 2y \quad e \quad \frac{\partial F}{\partial z} = 2z $$

II) Usando a regra da cadeia para funções implícitas:

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\right) = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = -\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\right) = -\frac{2y}{2z} = -\frac{y}{z} $$