Funções Compostas de Mais de 2 Variáveis

A regra da cadeia também pode ser aplicada a funções compostas de mais de duas variáveis.

Considere u = f(x₁, x₂, ... , x_n) e cada x_i é uma função de t: x_i = g_i(t). A derivada de u em relação a t é:

$$ \frac{du}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt} $$

Função de 3 Variáveis

Seja u = f(x, y, z) = xyz, onde x = t, y = t² e z = sen(t).

I) Primeiro, encontramos as derivadas parciais de f:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = yz, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = xz, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = xy $$

II) Depois, encontramos as derivadas de x, y e z em relação a t:

$$ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dz}{dt} = \cos(t) $$

III) Aplicando a regra da cadeia, temos o seguinte:

$$ \frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt} $$

$$ \frac{du}{dt} = yz \cdot 1 + xz \cdot 2t + xy \cdot \cos(t) $$