A continuidade é um conceito fundamental no estudo das funções de várias variáveis, pois permite garantir que pequenas variações nas entradas resultem em pequenas variações nas saídas.

Definição Formal

Seja f: ℝⁿ → ℝ uma função de n variáveis. Dizemos que f é contínua no ponto a ∈ ℝⁿ se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se |x - a| < δ, então |f(x) - f(a)| < ε.

Em outras palavras, podemos dizer que f é contínua em a se:

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Continuidade em um Conjunto

Uma função f é contínua em um conjunto D ⊆ ℝⁿ se for contínua em todos os pontos de D.

Isso significa que, para qualquer ponto a ∈ D, f é contínua em a.

Exemplos

1. Função Polinomial: Considere a função f(x, y) = x² + y². Vamos verificar se f é contínua em ℝ². Para qualquer (a, b) ∈ ℝ², temos:

$$ \lim_{(x, y) \to (a, b)} (x^2 + y^2) = a^2 + b^2 = f(a, b) $$

Portanto, temos que f(x, y) = x² + y² é contínua em ℝ².