2. Função Racional: Considere a função g(x, y) = ^2xy/_{(x² + y²)} para (x, y) ≠ (0, 0) e g(0, 0) = 0. Vamos verificar a continuidade em (0, 0).

$$ y = 0: \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \cdot x \cdot 0}{x^2 + 0^2} \right) = 0 $$

$$ y = x: \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \cdot x \cdot x}{x^2 + x^2} \right) = 1. $$

Como os limites são diferentes para diferentes caminhos, concluímos que g(x, y) não é contínua em (0, 0).

Propriedades

As propriedades da continuidade para funções de várias variáveis são similares às de uma variável:

I) Soma: Se f e g são contínuas em a, então (f + g) é contínua em a.

II) Produto: Se f e g são contínuas em a, então (f . g) é contínua em a.

III) Quociente: Se f e g são contínuas em a e g(a) ≠ 0, então (f / g) é contínua em a.

IV) Composição: Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então (g∘f) é contínua em a.