O Teorema do Valor Médio (TVM) é um resultado fundamental em cálculo diferencial que estabelece a existência de um ponto onde a derivada de uma função atinge um valor intermediário entre os valores da função em dois pontos dados.

Este teorema tem extensões para funções de várias variáveis, que são cruciais para o entendimento profundo de como as funções se comportam.

TVM para Funções de 1 Variável

Primeiro, revisamos o TVM clássico para funções de uma variável:

Teorema do Valor Médio (Uma Variável): Seja f: [a, b] → ℝ uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Então, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que:

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

TVM para Funções de Várias Variáveis

Para funções de várias variáveis, o TVM assume uma forma ligeiramente diferente. Consideremos uma função f: ℝⁿ → ℝ.

Teorema do Valor Médio (Várias Variáveis): Seja f uma função diferenciável contínua em uma região convexa D ⊆ ℝⁿ.