Se a, b ∈ D, então existe um ponto c no segmento de linha que une a e b tal que:

$$ f(b) - f(a) = \nabla f(c) \cdot (b - a) $$

Interpretação Geométrica

Geometricamente, o TVM para várias variáveis nos diz que a variação da função f ao longo do segmento de linha entre dois pontos a e b é equivalente ao produto interno entre o gradiente de f em algum ponto c desse segmento e o vetor (b - a).

TVM em Duas Variáveis

Considere a função f(x, y) = x² + y² e os pontos a = (1, 1) e b = (2, 3).

1. Primeiro, vamos encontrar o gradiente de f. Veja:

$$ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y) $$

Para aplicar o TVM, precisamos encontrar um ponto c no segmento de linha entre a e b.

Parametrizamos o segmento como c(t) = (1+t, 1+2t) para t ∈ [0, 1].

2. A variação de f ao longo do segmento é dado por:

f(b) - f(a) = (2² + 3³) - (1² + 1²) = 13 - 2 = 11

3. Agora nós temos que procurar o valor de t tal que:

11 = ∇ f(c(t)) . (b − a)

4. Após isso, precisamos calcular a subtração b - a:

b - a = (2-1, 3-1) = (1, 2)

5. Então, podemos afirmar o que se encontra abaixo:

∇ f(c(t)) = (2(1+t), 2(1+2t)) = (2+2t, 2+4t)