Além das condições necessárias discutidas anteriormente, existem condições suficientes que nos ajudam a determinar se um ponto crítico é de fato um extremo local.

Matriz Hessiana

A matriz Hessiana é uma ferramenta importante no estudo de extremos de funções de várias variáveis.

Para uma função f(x, y), a matriz Hessiana é definida como a matriz das segundas derivadas parciais de f:

$$ H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix} $$

Critério da 2ª Derivada para Extremos

O Critério da Segunda Derivada é uma condição suficiente para determinar se um ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Seja (a, b) um ponto crítico de uma função f(x, y) onde as segundas derivadas parciais são contínuas em torno de (a, b).

• Se H(f) (a, b) é definida positiva e o determinante é positivo, então (a, b) é um mínimo local de f.

• Se H(f) (a, b) é definida negativa e o determinante é positivo, então (a, b) é um máximo local de f.

• Agora se o determinante de H(f) (a, b) é negativo, então (a, b) é um ponto de sela.