Interpretação Geométrica

Geometricamente, os Multiplicadores de Lagrange representam a taxa de variação da função objetivo ao longo da curva de restrição.

Se λ > 0, isso significa que a função objetivo está aumentando ao longo da curva de restrição, e se λ < 0, a função objetivo está diminuindo.

Quando λ = 0, a função objetivo é constante ao longo da curva de restrição.

Exemplos

Maximização da Área

Suponha que queremos maximizar a área de um retângulo com perímetro constante de 10 unidades. Sejam x e y os lados do retângulo.

A área A do retângulo é dada por A = xy, e o perímetro P é dado por P = 2x + 2y.

Nosso problema é maximizar A sujeito à restrição P = 10. O Lagrangeano associado a este problema é:

    L(x, y, λ) = xy - λ(2x + 2y - 10)

Resolvendo as equações ^∂L/_∂x = 0, ^∂L/_∂y = 0 e 2x + 2y = 10, obtemos os valores de x, y e λ.