Onde R é uma região no plano xy. Se quisermos mudar para novas variáveis (u, v), precisamos reescrever f(x, y) e dA em termos de u e v.

Isso requer a utilização do Jacobiano da transformação.

O Papel do Jacobiano

O Jacobiano é um determinante que relaciona as taxas de variação das novas variáveis em função das antigas.

Para uma transformação bidimensional de (x, y) para (u, v), o Jacobiano é dado por:

$$ \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $$

A integral transformada é então expressa como:

$$ \iint_{R'} f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| \, du \, dv $$

Onde R' é a região correspondente no plano uv.

Exemplos Comuns

I) Coordenadas Polares:

• Utilizadas para problemas com simetria radial.

• Transformação:

        x = r.cos(θ)

        y = r.sen(θ)

• Jacobiano: |J| = r.