As coordenadas esféricas são especialmente úteis para resolver problemas em três dimensões que possuem simetria esférica, como aqueles encontrados em física, astronomia e engenharia.

Em vez do sistema cartesiano (x, y, z), utilizamos (ρ, ϕ, θ), onde ρ é a distância radial do ponto à origem, ϕ é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e θ é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).

Definição e Transformação

As coordenadas esféricas (ρ, ϕ, θ) se relacionam com as coordenadas cartesianas (x, y, z) pelas seguintes equações:

    x = ρ.sen(ϕ)cos(θ)

    y = ρ.sen(ϕ)sen(θ)

    z = ρ.cos(ϕ)

Aqui, temos que ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, e 0 ≤ θ < 2π.

Para converter de coordenadas cartesianas para esféricas, usamos:

    ρ = √(x² + y² + z²)

    ϕ = cos^-1(^z/_ρ)

    θ = tg^-1(^y/_x)

Jacobiano da Transformação

Ao mudar de coordenadas cartesianas para esféricas, precisamos ajustar o elemento de volume dV para refletir a nova base de integração.