As coordenadas polares são uma alternativa útil ao sistema de coordenadas cartesianas para representar pontos no plano, especialmente em problemas com simetria circular.

Em vez de usar pares ordenados (x, y), utilizamos um par de valores (r, θ), onde r representa a distância do ponto à origem e θ é o ângulo entre o eixo positivo x e a linha que conecta o ponto à origem.

Definição e Transformação

As coordenadas polares (r, θ) se relacionam com as coordenadas cartesianas (x, y) pelas seguintes equações:

    x = r.cos(θ)

    y = r.sen(θ)

Aqui, r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π. Para converter de coordenadas cartesianas para polares, utilizamos:

    r = √(x² + y²)

    θ = tg-1(y/x)

Jacobiano da Transformação

Quando mudamos de coordenadas cartesianas para polares, precisamos ajustar o elemento de área dA para refletir a nova base de integração.

O Jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, θ) é dado por:

$$ \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} \right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} $$