Diante disso, temos então a seguinte expressão:

$$ \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{vmatrix} = r $$

Portanto, o elemento de área dA em coordenadas polares é rdrdθ. A integral dupla em coordenadas polares torna-se:

$$ \iint_R f(x, y) \, dA $$

$$ = \iint_{R'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta $$

Exemplo de Integração em Coordenadas Polares

Integral sobre um círculo: Calcular a integral da função f(x, y) = x² + y² sobre o círculo de raio a centrado na origem.

Em coordenadas polares, temos x² + y² = r². A integral torna-se:

$$ \iint_{R} (x^2 + y^2) \, dA = \iint_{R'} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta $$

Os limites de integração para r vão de 0 a a e para θ de 0 a 2π:

$$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta = \frac{\pi a^4}{2} $$

Questões

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