O Jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (ρ, ϕ, θ) é dado por:

$$ \left| \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (\rho, \phi, \theta)} \right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} $$

Então, podemos observar que esse determinante é:

$$ \begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0 \end{vmatrix} $$

$$ = \rho^2 \sin(\phi) $$

Portanto, o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é ρ²sen(ϕ) dρdϕdθ.

A integral tripla em coordenadas esféricas torna-se:

∭_V f(x, y, z) dV

∭_V' f(ρ.senϕcosθ, ρ.senϕsenθ, ρ.cosϕ) ρ²senϕ dρdϕdθ