O Jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas (x, y, z) para cilíndricas (r, θ, z) é dado por:

$$ \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)} \right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix} $$

Diante disso, temos então a seguinte expressão:

$$ \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r $$

Portanto, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r, dr, dθ, dz. A integral tripla em coordenadas cilíndricas torna-se:

$$ \iiint_V f(x, y, z) \, dV $$

$$ = \iiint_{V'} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz $$

Exemplo de Integração em Coordenadas Cilíndricas

Volume de um Cilindro: Calcular o volume de um cilindro de raio a e altura h utilizando coordenadas cilíndricas.

O volume do cilindro pode ser expresso como uma integral tripla. Em coordenadas cilíndricas, temos:

$$ V = \iiint_{V} dV $$

$$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{0}^{h} r \, dz \, dr \, d\theta = \pi a^2 h $$