Definição

As integrais impróprias de tipo 1 ocorrem quando a função a ser integrada tem um comportamento indefinido ou se torna infinita em pelo menos um dos limites de integração finitos.

Formalmente, para uma função f(x) contínua em [a, b) mas com uma descontinuidade infinita em b, a integral imprópria é definida como:

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{c \to b^-} \left( \int_{a}^{c} f(x) \,dx \right)$$

Aqui, substituímos b por um limite c que se aproxima de b pela esquerda.

Se o limite existir e for finito, dizemos que a integral é convergente. Caso contrário, ela é divergente.

Condições de Convergência e Divergência

Para determinar se uma integral imprópria de tipo 1 é convergente ou divergente, devemos analisar o comportamento da função próxima à descontinuidade.

Considere o seguinte exemplo mostrado abaixo:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^p} \,dx$$

Para p > 0, a função ¹/_(x-1)^p tem uma descontinuidade infinita em x = 1.

Avaliamos a convergência da integral analisando o limite:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^p} \,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{1+\varepsilon}^{2} \frac{1}{(x-1)^p} \,dx$$