Definição

As integrais impróprias de tipo 2 surgem quando um dos limites de integração é infinito.

Essas integrais permitem avaliar áreas e volumes que se estendem até o infinito. Formalmente, uma integral imprópria de tipo 2 é definida como:

$$\int_{a}^{\infty} f(x) \,dx = \lim_{b \to \infty} \left( \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right)$$

Se o limite existir e for finito, a integral é considerada convergente; caso contrário, é divergente. Podemos também considerar o caso onde o limite inferior é infinito:

$$\int_{b}^{-\infty} f(x) \,dx = \lim_{a \to -\infty} \left( \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right)$$

Ou quando ambos os limites são infinitos. Veja abaixo:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx$$

$$\lim_{a \to -\infty} \left( \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right)$$

Condições de Convergência e Divergência

Para determinar a convergência ou divergência de uma integral imprópria de tipo 2, é fundamental analisar o comportamento da função f(x) à medida que x tende ao infinito.

Por exemplo, consideremos a integral a seguir:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx$$