As séries infinitas são sequências somatórias que se estendem ao infinito, e existe uma conexão profunda entre séries infinitas e integrais impróprias.

Séries Infinitas

Uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de termos:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$

Para que a série seja convergente, a sequência das somas parciais S_N deve convergir para um limite finito quando N → ∞.

Se esse limite não existe, a série é divergente.

$$ S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n $$

Teste da Integral para Convergência de Séries

O teste da integral é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries infinitas.

Ele estabelece uma relação entre a série e uma integral imprópria.

Seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente para x ≥ 1, e seja a_n = f(n). Então, a série $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$ e a integral $$ \int_{1}^{\infty} f(x) \,dx $$ ou ambas convergem, ou ambas divergem.