Exemplo: Determinar a convergência da série:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$

Consideramos f(x) = ¹/_x². A integral correspondente é:

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \,dx = 1 $$

Como a integral é convergente, a série que temos aqui: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ também é convergente.

Séries P e Integrais P

Uma série p é uma série da forma que vemos abaixo:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $$

Para determinar a convergência, comparamos com a integral imprópria correspondente:

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx $$

    • Para p > 1, a integral é convergente e, portanto, a série é convergente.

    • Para p ≤ 1, a integral é divergente e, portanto, a série é divergente.