Exemplo: Determinar a convergência da série abaixo:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $$

Consideramos a seguinte integral correspondente:

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \,dx = 2 $$

Como a integral é convergente, a série que temos aqui: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $$ também é convergente.

Série de Taylor e Integrais Impróprias

A série de Taylor de uma função pode ser relacionada a uma integral imprópria. Considere a série de Taylor de e^x:

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$

A série de Taylor pode ser usada para representar funções como integrais impróprias. Por exemplo:

$$ \ln(1+x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t} \,dt $$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} $$

Esta série é a expansão de Taylor para ln(1+x), e podemos ver como a integral imprópria se relaciona diretamente com a soma infinita.