Para p > 1, a integral converge; para p ≤ 1, a integral diverge. Isso pode ser demonstrado avaliando o limite:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^p} \,dx$$

Agora, calculando a integral, vamos ter o seguinte:

$$\int_{1}^{b} \frac{1}{x^p} \,dx = \frac{1}{1 - p}$$

Ao tomar o limite quando b → ∞:

    • Para p > 1, b(1-p) → 0 e a integral converge.

    • Para p ≤ 1, b(1-p) não tende a zero e a integral diverge.

Técnicas de Avaliação

Existem várias técnicas para avaliar integrais impróprias de tipo 2, incluindo:

Comparação Direta: Comparar a integral imprópria com uma integral conhecida pode ajudar a determinar a convergência ou divergência. Veja o Exemplo abaixo:

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \,dx $$

Sabemos que ¹/_(x²+1) ≤ ¹/_x² para x ≥ 1. Como: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \,dx $$ é convergente, podemos concluir que: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \,dx $$ também é convergente.