Equação de Legendre

A equação de Legendre é uma EDO de segunda ordem dada por:

$$ (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n + 1) y = 0 $$

Onde n é um número inteiro e, ao mesmo tempo, não negativo.

Polinômios de Legendre

Definição: Os polinômios de Legendre P_n(x) são soluções específicas da equação de Legendre para valores inteiros de n.

Propriedades: São ortogonais no intervalo [-1, 1] com a relação: $$ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = 0, \quad \text{para } m \neq n $$

Expansão em Série de Potências: Para resolver a equação de Legendre por séries, assumimos uma solução na forma: $$ y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k $$

Equação de Bessel

A equação de Bessel é uma EDO de segunda ordem dada por:

$$ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 $$

Onde ν é um parâmetro que pode ser qualquer número real ou complexo.