Desigualdade de Chebyshev

Para qualquer variável com média \(\mu\) e variância finita \(\sigma^2\), e qualquer \(k\gt 0\):

$$P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}$$

O resultado vale para qualquer distribuição.

Com \(k=2\), no máximo 25% da probabilidade fica a 2 desvios padrão ou mais da média.

Média Amostral

Para \(X_1,\ldots,X_n\) independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\):

$$\bar{X}_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$$

\(E(\bar{X}_n)=\mu\) e \(\mathrm{Var}(\bar{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}\).