Definição e Convergência

Uma série de potências é uma série infinita da forma:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} C_n \cdot (x - a)^n $$

Onde C_n são coeficientes constantes, a é um ponto fixo, e x é uma variável.

Essa série representa uma função que pode ser escrita como uma soma infinita de termos dependentes de (x - a).

As séries de potências são uma generalização dos polinômios, mas com um número infinito de termos.

Para que uma série de potências converja em um ponto x, a soma infinita dos seus termos deve tender a um valor finito.

A convergência de uma série de potências depende do valor de x e dos coeficientes C_n.

Uma das principais questões ao trabalhar com séries de potências é determinar para quais valores de x a série converge.

Intervalo e Raio de Convergência

O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de valores de x para os quais a série converge.

O raio de convergência, R, é a distância do ponto a dentro da qual a série converge absolutamente. Fora deste intervalo, a série diverge.

Para determinar o raio de convergência, usamos a fórmula:

$$ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|C_n|} $$